Знакомство с логикой все некоторые отрицание

Логика: Александр Леонидович Никифоров

знакомство с логикой все некоторые отрицание

Введение. Некоторые устройства и возможности персональных компьютеров — сказка Введение в логику (32 часа). Знакомство с отрицанием. ЛОГИКА Краткий курс лекций для вуза. Лекция 1. ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ .. Принцип отрицания отрицания, Всякий предмет отрицает себя в своей никакого прочного основания призывы некоторых современных логиков .. Их сотни, но все они строятся по сходным принципам, поэтому знакомство с одним из. Еще несколько веков назад все были уверены что это утверждение истинно Например отрицание высказывания А есть А. В некоторых случаях.

На первый взгляд, логика названа логикой крайне неудачно. На самом же деле, это не. Чтобы убедиться в удачности названия, а заодно уточнить предмет логики, надо поговорить о мышлении. Итак, что же является предметом логики, какая область или сторона мира? Для выяснения этого вопроса попробуем начать с этимологии термина "логика".

Термин этот древнегреческого происхождения, в основе его лежит другое греческое слово - "логос". Последнее имело много значений, но исходным и самым простым было значение "слово".

Таким образом, термин "логика" буквально следует перевести как "учение о словах" или "искусство использования слов". Обычно термин "логика" так не переводят, поскольку при этом переводе получается явно неточное определение логики и ее предмета.

Известно ведь, что словами в первую очередь интересуется не логика, а риторика, изучающая красноречие, или лингвистика, изучающая языки. Однако, как мы увидим позже, буквальный перевод термина "логика" ничем не хуже другого, обычного, перевода, согласно которому логика интересуется не словами, а мышлением.

Этот обычный перевод тоже не отличается строгостью, ибо мышлением не в меньшей мере, чем логика, занимаются физиология высшей нервной деятельности и психология. Чтобы выйти на точное определение логики, давайте поговорим о мышлении. Говорить о мышлении чрезвычайно трудно, так как категория мышления - одна из фундаментальнейших категорий науки. Хотя ученые изучают мышление давно, в этой сфере остается еще много неясного. И, тем не менее, кое-что надежное и важное сказать.

знакомство с логикой все некоторые отрицание

Правда, оговорюсь, что не все факты, о которых я упомяну, являются общепризнанными. Определяя мышление, важно подчеркнуть, что это - упреждающее отражение. Чтобы показать превосходство мышления над более примитивными видами отражения, мы скажем так: Здесь в обычное определение мышления добавлено всего одно слово - слово "упреждающее", но это очень важное слово. Определяя мышление, говорят, что это - психическое отражение мира.

Логика Лекция 3 Суждение

Слово "отражение" невольно вызывает образ зеркала и тем самым сбивает с толку, ибо отражение в зеркале - это оптическое отражение, изучаемое физикой, а всякое физическое отражение, каким бы сложным оно ни было, в тысячи раз примитивней мышления.

Более того, и психическое отражение может быть примитивней мышления если этого не учитывать, можно договориться до того, что мыслят и микробы. Какое отражение следует называть упреждающим? Отвечая на этот вопрос, сначала подброшу вам такой вот образ: Он появится, может, всего лишь через мгновение, но пока его нет, а его отражение в зеркале уже. Вот вам искусственный пример упреждающего отражения, помогающий осознать, насколько хитрым отражением является мышление.

Мышление нематериально, потому что оно всегда забегает вперед по отношению к тому, что имеется в наличии. Мышление всегда забегает вперед - хотя бы чуть-чуть - по сравнению с тем, что имеется в наличии.

Следовательно, и мышление в целом, и отдельная мысль нематериальны. Тем не менее, даже в современной научной литературе нередко можно встретить противоположные утверждения. Дело тут, мягко выражаясь, в недоразумении.

Часто путают материальный процесс, лежащий в основе мышления, и собственно мышление. О каком материальном процессе идет речь? Я имею в виду активность центральной нервной системы, работу нейронов головного мозга. Без головного мозга мышление невозможно, но активность клеток головного мозга - это не мышление, и как бы долго вы ни копались в центральной нервной системе, как бы тщательно ни фиксировали нейроэлектрические импульсы, возникающие в ней, никакого мышления и никаких мыслей вы там не обнаружите, ибо работа головного мозга материальна, а мышление нематериально.

Мыслят только высшие животные и человек, о чем говорят особенности их поведения. Где можно встретить мышление? Только у живых организмов. Мнение о том, что мышление есть в неживой природе, надежными фактами не подтверждается.

Более сложный вопрос вот какой: Часто мышление связывают только с человеческим организмом. Но в настоящее время накоплено много фактов, говорящих в пользу того, что мыслить могут и животные.

Разумеется, не все, а только высшие - птицы и млекопитающие. Более примитивные существа, например пресмыкающиеся, стоящие на эволюционной лестнице лишь на ступеньку ниже птиц, скорее всего, не мыслят. Об этом говорят особенности поведения животных. Сравним охоту крокодила и орла.

Действительно в общем высказывании утверждается что все рассматриваемые предметы обладают некоторым свойством. Поэтому его отрицание означает что не все предметы обладают этим свойством то есть существуют предметы которые этим свойством не обладают. Какие высказывания являются общими какие высказываниями о существовании а какие ни теми ни другими? Для ложных общих высказываний построй отрицания. Найди истинные высказывания и докажи.

Для ложных общих высказываний приведи контрпример и построй отрицание. Укажи алгоритм по которому можно найти его решений. А можно ли найти решений этого неравенства? Ответы запиши в виде двойных неравенств. Верно ли что любую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную? Представь дроби в виде бесконечных периодических дробей и округли с точностью до тысячных: Вычисли частное данных дробей с точностью до десятитысячных: Запиши формулы периметра и площади прямоугольника обозначив его стороны буквами а и b периметр буквой Р а площадь S.

Найди периметр и площадь получившейся фигуры. Округли значение площади с точностью до десятых. Ответы остальных примеров расположи в порядке убывания сопоставь соответствующим буквам и расшифруй математический термин. Какими свойствами обладает число а? Какими свойствами обладает число b? Можно ли подобрать цифру так чтобы это число делилось на на 25 на 4?

Можно ли подобрать цифру так чтобы это число делилось на 6 на 15 на 18 на 90? Обозначим А n подмножество множества А состоящее из чисел кратных n.

знакомство с логикой все некоторые отрицание

Запиши эти множества с помощью фигурных скобок и найди их пересечение. Чему равен наибольший общий делитель чисел 12 и 15? Как найти НОД 12; 15 пользуясь разложением на простые множители? Найди пересечение этих множеств и укажи в нем наименьший элемент. Как найти НОК 6; 8 с помощью разложения на простые множители? Ответы округли с точностью до десятых. Найди ее периметр и площадь. Ответ округли с точностью до целых.

C 57 Алик Боря Витя и Гена ходили по грибы. Гена нашел грибов больше чем Витя. Расположи имена мальчиков в порядке уменьшения числа найденных грибов. Отрицание высказываний о существовании. Предыдущий пункт мы начали с примеров а закончили общим рассуждением о том почему отрицанием общего высказывания является высказывание о существовании.

Здесь мы поступим в обратном порядке. Высказывание о существовании означает что существует предмет обладающий некоторым свойством. Его отрицание означает наоборот что не существует предмета с этим свойством то есть ни один из рассматриваемых предметов этим свойством не обладает. Таким образом Отрицание высказывания о существовании есть общее высказывание. Проиллюстрируем полученный вывод конкретными примерами. Высказывание Отрицание 1 Некоторые птицы умеют плавать.

Ни одна птица не умеет плавать. Все птицы умеют плавать. Всякое натуральное число кратное 6 кратно 2. Четыре различных числа при делении на 3 не могут давать различные остатки. Для любых четырех различных чисел верно что среди их остатков от деления на 3 имеются равные.

Число нельзя представить в виде 7k где k натуральное число. Для любого k N: Сумма никаких двух натуральных чисел не может быть равна их произведению. Для любых а b N: Построй их отрицания и убедись в выполнении закона исключенного третьего. Построй его отрицание и приведи различные формулировки. Определи истинность данного высказывания и его отрицания. Для ложных высказываний построй отрицания.

Какие из этих формулировок представляют одну и ту же задачу? Приведи дроби к наименьшему общему знаменателю и продолжи ряд на два числа сохраняя закономерность: Какие из полученных чисел можно представить в виде конечных десятичных дробей? Выпиши соответствующие им буквы и переставь их так чтобы получилось слово. Составь математические модели задач: Сколько стоят альбом и книга вместе? Во сколько раз первая коробка вместительнее чем вторая?

Первый заработал d р. Сколько рублей заработал третий школьник? Д 67 Определи вид высказываний и построй их отрицания. Составь выражения к задачам: Сколько сахара в трех мешках?

Мальчик уже прошел с км. Во сколько раз оставшийся путь больше пройденного? С 70 Сократима ли дробь которая в сумме с данной правильной несократимой дробью дает 1? Рассмотри несколько примеров и докажи подмеченную закономерность. Решая текстовые задачи мы видели что буквы в выражениях играют роль символов вместо которых можно подставлять числа.

А сами буквенные выражения называют выражениями с переменными. После замены букв числами выражение становится числовым а его значение числом.

Изучение элементов математической логики в школе

Полученные числа 70 и 18 являются соответственно значениями данных выражений с переменными при указанных значениях букв. Классификация Для устранения неточности понятий используется другая логическая операция — деление. Она приобретает особое значение, когда объем рассматриваемых нами понятий очень велик и в нем трудно ориентироваться. Тогда мы часто разбиваем его на какие-то части, группы, классы — это и есть деление.

Деление есть логическая операция, раскрывающая объем понятия посредством разбиения его на виды. Например, органы чувств подразделяются на органы зрения, слуха, обоняния, осязания и вкуса; высшие растения делятся на травы, кустарники и деревья. В повседневной жизни мы разделяем людей в зависимости от их роста на высоких, средних и маленьких; пищу, которую потребляем, - на вкусную и невкусную; вещи, которые носим, - на дорогие и дешевые В операции деления присутствуют три элемента: Для того чтобы деление не приводило нас к ошибкам, чтобы оно действительно раскрывало объем интересующего нас понятия, при совершении деления нужно соблюдать некоторые простые правила.

Деление должно быть соразмерным, то есть сумма членов деления должна быть в точности равна объему делимого понятия. Нарушение этого правила приводит к ошибкам двух видов. Члены деления должны исключать друг друга, то есть не иметь общих элементов, быть соподчиненными понятиями, объемы которых не пересекаются. Иначе говоря, каждый элемент из объема делимого понятия должен попасть только в один класс, в противном случае возникнет путаница, а не прояснение объема интересующего нас понятия.

Здесь члены деления не исключают друг друга: Хорошее деление можно сравнить с разрезанием пирога: Таким же должно быть и деление понятий. Деление должно производиться только по одному основанию, нельзя в процессе деления заменять один признак, опираясь на который вы начали деление, другим признаком. Деление понятий следует отличать от мысленного расчленения предмета на части.

Последняя операция также широко используется в повседневной, жизни: Однако деление понятий и расчленение предмета на части - совершенно разные операции, и их смешение приводит к путанице. Кому, например, нужно такое деление: Следите за моими рассуждениями. У меня в руке 2 спички - 1 пара. Я ломаю одну спичку и получаю вторую пару.

Я ломаю вторую спичку и получаю третью пару. Однако, взяв три раза по 2, я получаю всего 4. Где я совершил ошибку? Ответы 1 Кажется, это вопрос того типа, что задал бравый солдат Швейк членам медицинской комиссии, однако это не.

Разговоры о Нью-Йорке, Лиссабоне и террористе имеют цель отвлечь ваше внимание от того факта, что пилот - это вы сами и ему столько же лет, сколько и. Обычно первыми находят ответ девушки: Как только вы набрели на эту мысль, задача моментально решается: Если весы остаются в равновесии, это означает, что фальшивая монета находится среди трех отложенных. Если же одна тройка монет тяжелее другой, то фальшивая монета - в той тройке, которая легче.

Вы точно человек?

Затем из тройки, содержащей фальшивую монету, берем две монеты и по одной кладем на чашки весов. Если весы остаются в равновесии, значит, фальшивой является та монета, которая осталась; если же одна из монет легче, то она и есть фальшивая. Таким образом, самый большой круг представляет женщин и дочерей. Все мы женщины, все мы дочери, но некоторые из нас уже имеют собственных детей, то есть стали матерями.

И наконец, некоторые из матерей обзавелись внуками и стали бабушками. Они остаются женщинами, дочерьми, матерями, но приобретают еще одно дополнительное свойство. Бабушки включаются в класс матерей. Все изображение представляет собой ряд вложенных один в другой кругов.

Мы должны перевозить рыцарей и дам таким образом, чтобы ни одна дама без своего рыцаря ни на миг не оставалась с чужим рыцарем в какой-либо из этих позиций. Здесь, как и во многих других случаях, очень облегчает рассуждения введение подходящей символики. Обозначим рыцарей и их дам соответственно большими и маленькими буквами: Основная идея решения заключается в том, что дамы возят рыцарей! Дама а берет своего рыцаря А, садится с ним в лодку и перевозит его на другой берег.

Высадив рыцаря А на берег, дама а возвращается, но на берег не выходит. К ней в лодку садится дама б, они переплывают реку, и дама а выпрыгивает на берег к своему рыцарю А. Затем дама б возвращается за своим рыцарем Б, перевозит его на другой берег и опять возвращается за дамой.

Дама в садится в лодку, они переплывают реку, дама б высаживается на берег, где ждет ее рыцарь Б, а дама в едет обратно и привозит своего рыцаря В. Если третий мудрец видит перед собой два белых колпака, то он догадывается, что на нем самом черный колпак ведь он же мудрец! Таким образом, в случаях 1 и 2 догадывается и восклицает третий мудрец. Если же он идет и молчит, то второй мудрец понимает, что имеет место 3-й или 4-й вариант. Посмотрев на колпак первого мудреца, второй мудрец определяет, какой колпак на нем самом: Таким образом, один из мудрецов обязательно догадается, какого цвета на нем колпак.

  • 3.4 Суждения в логике Суждение как форма мышления
  • Вы точно человек?
  • Изучение элементов математической логики в школе

Словам и словосочетаниям в мышлении соответствуют понятия; мысленным содержанием предложений является суждение - более сложная форма мысли, для которой понятия служат лишь строительным материалом. Наличие утверждения или отрицания служит отличительной характеристикой суждения как особой формы мысли. Именно благодаря этому суждение обладает еще одним важным признаком: Ни одна другая форма мысли не обладает этими особенностями.

Поэтому понятия не оцениваются как истинные или ложные. В этом заключается величайшая ценность суждений для познания: В языке суждения выражаются посредством повествовательных предложений. Вопросительные предложения не выражают суждений, ибо не содержат в себе ни утверждения, ни отрицания, характерных для суждений. Правда, вопрос опирается на суждение или, как говорят, неявно содержит в себе суждение.

И если суждение, лежащее в его основе, истинно, вопрос оценивается как осмысленный, если же оно ложно, вопрос не имеет смысла. Если же в полной тишине вы спросите: Восклицательные предложения, когда они выражают побуждение к действию или эмоциональное состояние, также не являются суждениями. Итак, только повествовательные предложения выражают суждения. Но и то не. Когда-то считали, что любое правильно построенное повествовательное предложение выражает суждение. К сожалению, несмотря на усилия многих ученых, логика до сих пор не может ясно ответить на вопрос о том, когда некоторое предложение является осмысленным, а когда - бессмысленным.

Здесь приходится полагаться на интуицию. Здесь имеется утверждение, следовательно, это предложение выражает суждение, и даже истинное. Грамматическое строение сохранилось, но осмысленно ли получившееся предложение? Если вы согласны с этим, то вам придется признать бессмысленной почти всю поэзию, значительную часть прозы и громадные пласты повседневной речи. Вы слышали, как армейский старшина обращается к солдатам: С точки зрения логики все эти высказывания бессмысленны.

В то же время мы их понимаем, схватываем какую-то содержащуюся в них мысль или образ, следовательно, в них есть какой-то смысл. Логика вырабатывает все более точные и тонкие критерии осмысленности предложений, но человеческий язык всегда будет выходить за пределы этих критериев.

И это естественно и прекрасно! Однажды утром из этих городов навстречу друг другу вышли два пешехода со скоростью 5 км в час. Одновременно с одним из них в поход вылетела муха и полетела навстречу другому пешеходу со скоростью 10 км в час.

Встретив второго пешехода, муха тотчас же поворачивает обратно и летит до встречи с первым пешеходом. Затем опять поворачивает и так летает между пешеходами до тех пор, пока они не встретятся. В момент встречи муха успокаивается и садится одному из пешеходов на шляпу. Сколько километров до встречи пешеходов пролетела муха? Вопрос о том, что такое логические связки, рассмотрим позже, а пока удовлетворимся этим определением.

Атрибутивное суждение утверждает или отрицает принадлежность предмету каких-либо свойств, состояний, видов активности, например: Оно состоит из трех элементов: Субъектом суждения называют понятие о предмете нашей мысли: Предикатом суждения называют понятие о признаке или состоянии, наличие или отсутствие которого отображается в суждении: Субъект и предикат - это два понятия, входящие в состав суждения.

Однако, просто высказав два каких-то понятия, мы еще не получим суждения. Их еще нужно связать, поставить в определенное отношение - только тогда они образуют новую форму мысли. Поэтому третьим необходимым элементом суждения является связка. В русском языке связка ную часть прозы и громадные пласты повседневной речи. Затем опять поворачивает и та к летает между пешеходами до тех пор, пока они не встретятся.

Обратите внимание на то, что членение суждения на субъект и предикат не совпадает с членением предложения на подлежащее и сказуемое, ибо в первом случае мы выделяем элементы мысли, а во втором - элементы ее языкового выражения. Грамматика говорит также о второстепенных членах предложения - дополнениях, обстоятельствах и. С точки зрения логики, в суждении, выражаемом данным предложением, всего лишь два понятия: Связка опущена и выражается согласованием слов.

Структура мысли всегда проще, чем структура выражающего его предложения, ибо мысли по своему строению приблизительно одинаковы у всех людей, а языки народов сильно отличаются в силу случайностей исторического развития: Навстречу им плывут другие 3 парохода. Река настолько узкая, что, пароходы разъехаться не могут. Однако на реке, как раз на месте встречи, имеется небольшой залив, вмещающий только один пароход.

Могут ли и каким образом пароходы разойтись и продолжить свой путь по реке в том же порядке, в котором они встретились?

Глава 1. Язык и логика. 1. Отрицание высказываний

Но это — разные суждения, отождествление которых может приводить к логическим ошибкам. В зависимости от того, обо всем объеме субъекта идет речь в суждении или лишь о его части, суждения подразделяются на общие и частные.

Это называется разделением суждений по количеству. Для указания количества суждения перед субъектом обычно ставится кванторное слово или просто квантор: Иногда квантор не имеет явного языкового выражения и лишь подразумевается, но при выявлении логической структуры суждения его следует формулировать в явном виде. Объединяя разделение суждений по качеству и количеству, мы получаем объединенную классификацию простых суждений, включающую в себя суждения четырех различных типов.

Точно так же обстоит дело со всеми другими единичными суждениями. Вечно у меня ничего нет! Вон, посмотришь, у других - было много, а стало еще. А у меня в кармане только несколько копеек осталось. Хоть бы кто-нибудь мне помог! Все как полагается — копыта, хвост, морда отвратительная, но Как только перейдешь по мосту на другой берег - деньги у тебя в кармане удвоятся.

Перейдешь назад — опять удвоятся, и так будут удваиваться всякий раз, как ты по мосту пройдешь. Бросил черту 24 копейки, повернул назад, прошел через мост второй раз — опять денег стало вдвое больше!

Бросил черту его 24 копейки, повернул и пошел через мост в третий. Деньги опять удвоились, да только отдал он черту 24 копейки и все - ничего у него в кармане не осталось, ни единой копеечки Сколько же денег было в кармане у крестьянина, когда он встретился с чертом?

Сколько ему нужно было иметь, чтобы хотя бы остаться при своих? Сколько нужно было иметь, чтобы нажиться на этой сделке? В дальнейшем простые суждения мы будем рассматривать как некие неделимые атомы, как элементы, из соединения которых возникают сложные структуры.

Простые суждения будем обозначать отдельными латинскими буквами: Каждая такая буква представляет некоторое простое суждение. Отвлекаясь от сложной внутренней структуры простого суждения, от его количества и качества, забыв о том, что в нем имеется субъект и предикат, мы удерживаем лишь одно свойство суждения - то, что оно может быть истинным или ложным.

Все остальное нас здесь не интересует. Логические связки представляют собой формальные аналоги союзов нашего родного естественного языка. Итак, давайте познакомимся с наиболее употребительными логическими связками.

Следует обратить внимание на одно тонкое обстоятельство. Выше мы говорили о простых отрицательных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрицания — внутреннее и внешнее. Если же отрицание внешним образом присоединяется к суждению, например: Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий.

Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом: Это сложное суждение представляет собой конъюнкцию двух простых суждений: Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выглядит следующим образом: В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции - строгую и нестрогую.

Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй - консеквентом, или следствием. Отсюда и названия членов импликации. Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью указанных выше обозначений означает их формализацию, которая во многих случаях оказывается полезной.

И все бы хорошо, да повадились на этом острове устраиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали.

Дабы воспрепятствовать нашествию чужестранцев, правитель острова издал указ: Боишься — тогда молчи и поворачивай восвояси! Сложное суждение - это тоже мысль, которая что-то утверждает или отрицает и которая поэтому оказывается истинной или ложной. Вопрос об истинности простых суждений лежит вне сферы логики — на него отвечают конкретные науки, повседневная практика или наблюдение.

Нужно спросить биолога, и он скажет нам, что это суждение истинно. Нужно обратиться к практике: Короче говоря, вопрос об истинности или ложности простых суждений в итоге всегда решается посредством обращения к той реальности, к которой они относятся. Но как установить истинность или ложность сложного суждения? Что можно сказать об этом сложном высказывании в целом?

Но дело в том, что логическим связкам - как, впрочем, и союзам естественного языка - в реальности ничего не соответствует! Это изобретенные нами средства связи мыслей или предложений, это - орудия мышления, не имеющие аналогов в реальности.